strukbar 2

• suatu ring R adalah suatu himpunan dengan dua operasi + dan X ( disebut penjumlahan dan perkalian)yang memenuhi aksioma

          1. grup abelian: pasangan terurut, terhadap operasi * jika memenuhi sbb:

              a. V a,b E G , a * b E G ( sifat tertutup)

              b. V a,b,c mk (a*b)*c = a*(b*c) (asosiatif)

              c. ada u E G mk a o u = u o a = a  jd Va E G (identitas)

              d. V a E G ada a inves E G mk a o a invers = a invers o a = u (u ; indentitas)

              e. jika V a,b E G ,mk a o b = b o a , shg (G;*) grup abelian 

          2. a x b E R (sifat tertutup terhadap X)

          3. oprasi X asosiatif ; a x (bxc) = (a x b) x c , V a,b,c E R

          4. memenuhi hukum distributif :

              a x (b + C) = ab + ac

              (a + b ) x c = ac + bc

• ring R komutatif jika perkaliannya komutatif
• ring R mempunyai identitas jika ada 1 E R, 1 x a = a x 1 = a , V a E R.

• definisi : misalkan suatu ring R memiliki identitas 1, dimana 1 tdk = 0.

ring R disebut ring pembagi jika untuk setiap elemen tak nol a E R, ada b E R sehingga ab = ba=1

          (artinya setiap elemen taknol a E R mempunyai invers perkalian)

          Ring pembagi komutatif disebut Field (lapangan)

      contoh :
1. misalkan R adalah sembarang grup komutatif dan operasi x pada R didefenisikan ab = 0

          buktikan R adalah ring

          jawab:

          a. karena r adalah grup komutatif

              maka r grup abelian

          b. maka ab = 0 shg, grup penjumlahan mempunyai idnt 0

          misal diberikan juga sembarang c E r

          c. a ( b.c) = a0 = 0 .c

          d. a (b+c) = 0 + 0 = 0

          terbukti r adalah ring.
2. misalkan x adalah himpunan tak kosong dan A adalah ring

         R = {f I f : x dipetakan ke A} dengan operasi

         (f + g) (x) = f (x) + g (x)

         (fg) (x) = f (x) . g (x)

         buktikan R adalah ring

         jawab :

         1. grup abelian

             a. (f + g) (x) E A tertutup terhadap +

             b. [ (f+g) + h ] (x) = (f+g) (x) + h (x)

                                         = (f (x) + g (x)) + h (x)

            karena A adalah grup dibawah operasi penjumlahan maka

            (f (x) + g (x)) + h (x) = f (x) + (g (x) + h (x))

                                            = f (x) + (g + h) (x)

                                            = [ f + (g+h)] (x)

            c. karena A terhadap penjumlahan, mk 0 E A

                didefinisikan fungsi

                e ; x dipetakn A dgn aturan e (x) = 0

                akan ditunjukan e fungsi identitas di r

                (f + e) (x) = f (x) + 0 = f (x) { krn A grup}

                (e + f) (u) = 0 + f (u) = f (u) { krn A grup}

            d.  karena A terhadap penjumlahan, mk -f (x) E A

                 didefinisikan - f : x dipetakan ke A dgn aturan (-f) (x) = -f (x)

                 sehingga 

                 [f + (-f)] (x) = f (x) + [-f (x)] = 0 = e (x)

                 begitu juga [-f + f ] (x) = 0 = e (x)

                 berarti -f invers dari f

            e.  (f + g ) (x) = f( x) + g (x)

                 karena abelian, sehingga (f  + g) (x) = g(x) + f (x) = ( g + f ) (x)

        2. [ f (gh)] (x) = f (x). gh(x) = f(x) .[g(x).h(x)]

            karena A ring ,mk           = f(x).g(x).h(x)

                                                  = [f(x).g(x)] h(x)

                                                  = fg (x) h(x)

                                                  = [(fg)h] (x) (sifat asosiatif)

        3. [f (g+h)(x) = f (x) (g+h) (x) = f(x)[g(x)+h(x)]

            karena A adalah ring, mk   = [f(x). g(x)] +[f(x)h(x)]

                                                     = (fg(x) + fh(x)

                                                     = ( fg ) +( fh ) (x) (hukum ditributif)

       jadi R adalah ring.

• proposisi

          misalkan R ring , maka untuk semua a,b E R berlaku

          (a) a0 = 0a =0

          (b) a (-b) = (-a)b= - (ab)

          (c) (-a) (-b) = ab

          (d) (-1)a = -a

          (e) (-1)(-1) = 1

• definisi : misalkan R adalah ring

(1) suatu elemen taknol a E R disebut pembagi nol jika elemen taknol b E R sedemikian sehingga

               ab = 0 atau ba = 0

(2) misalkan R mempunyai identitas 1 tdk= 0 . suatu u E R disebut unit di R, jika ada v E R           

               sedemikian sehingga uv = vu =1

        contoh:

        buktikan jika u unit di r ,maka -u juga unit di r

        bukti:

        karena u unit di r, ada v E R sehingga uv = 1

        berdsarkan proporsi maka

        uv = (-u) (-v)

        karena r adalah ring, maka -v E r dgn 

        (-v)(-v) = 1 karena (uv =1)

         kesimpulan, -u adalah unit di r

• definisi: suatu ring komutatif R dengan identitas 1 tdk = 0 disebut daerah integral jika R tidak mempunyai pembagi nol
• proposisi 2 

          karena R ring maka ab E R dan ab mmpunyai invers - (ab) shg

          ab + -(ab) = 0

          ac + -(ab) = 0

          ac + a(-b) = 0

          a(c + (-b) = 0

         subring

         buktikan bahwa irisan dari sembarang subring adalah subring

         bukti

         A dan B subring di R

         1. o E A irisan B (A irisan B tdk = 0)

         2. x,y E A irisan B mk x -y E A irisan B

                                           xy   E A irisan B

         A irisan B subring di R

• Ring polinomial

          ring polinomial adalah ring yang anggotanya polinomial'

          monik :  suku terdepan yang berkoefisien 1

          contoh

          x pangkat 5 - 2

• akan dibuktikan identitas di s = 1 di R

          misalkan ident di R = 1 (benar)

          s subring dari R

          andaikan ident e ident di R tdk = di R (salah)

          sebut ident e ident di s

          s elemen dari R

          R mempunyai 2 ident

          ini bertentangan dgn sifat ketunggalan ident, shg pengandaian salah

          disimpulkan ident di s = indet di R

• proporsi

         misalkan R adalah daerah integral dan p(x) dan q(x) E R(x). jika

         1derajat p(x)q(x) = derajat p(x) + derajat q(x)

         bukti

         misal p(x) q(x)E R (x) dgn

         suku terdepan p(x) adl an x pngkt n

         suku terdepan q(x) adl bm x pngkt m

         dimana an dan bm tdk = 0

         ini berarti drajt p(x) = n

                               q(x) = m

         berdasarkan definisi perkalian, maka

         (an.bm) x pangkat (n+m)

         karena an, bm E R dan R daerah integral , maka an ,bm tdk = 0